Die mathematische Beschreibung von platzenden Blasen in einem Schaum

Schaumbäder und seifiges Geschirrspülwasser, die erfrischende Krone eines Bieres und der köstliche Schaum auf einem Cappucino – all das sind Schäume: schön und dennoch vergänglich, wenn die Blasen eine nach der anderen zerplatzen. Zwei Forscher der University of California in Berkeley haben jetzt die aufeinander folgenden Schritte bei der komplexen Entwicklung und dem Verschwinden seifiger Blasen mathematisch beschrieben. Dieser Fortschritt könnte bei der Modellierung industrieller Prozesse helfen, in denen sich Flüssigkeiten mischen oder bei der Bildung fester Schäume, wie sie bei der Polsterung von Fahrradhelmen eingesetzt werden. Durch Anwendung dieser Gleichungen, erschufen die Wissenschaftler faszinierende, computergenerierte Filme, die das langsame und ruhige Verschwinden von wackelnden Schäumen zeigen.

Die Mathematiker James A. Sethian und Robert I. Saye berichten über ihre Ergebnisse in der Science-Ausgabe vom 10. Mai 2013. Sethian, ein Professor für Mathematik an der UC Berkeley, leitet die Mathematikgruppe am Lawrence Berkeley National Laboratory (LBNL). Saye wird von der UC Berkeley in diesem Mai einen Doktortitel in angewandter Mathematik erhalten.

„Diese Arbeit hat Anwendungen beim Mischen von Schäumen, bei industriellen Prozessen zur Herstellung von Metall- und Plastikschäumen und bei der Modellierung von wachsenden Zellansammlungen“, sagte Sethian. „Die Techniken stützen sich auf die Lösung einer Reihe von verknüpften partiellen Differentialgleichungen und können verwendet werden, um die Bewegung einer großen Anzahl miteinander verbundener Grenzflächen zu verfolgen, wo die Physik und Chemie die Oberflächendynamik bestimmen.“

Zeitlupenvideo von zerplatzenden Seifenblasen. (UC Berkeley)

Das Problem bei der mathematischen Beschreibung von Schäumen war, dass die Entwicklung eines wenige Zentimeter großen Blasen-Clusters davon abhängt, was in den extrem dünnen Wänden jeder Blase geschieht. Die Wände sind dünner als ein menschliches Haar. „Die sehr unterschiedlichen Größenordnungen in einem Schaum zu modellieren, ist eine Herausforderung, weil es rechnerisch unnütz ist, nur die kleinsten Räume und Zeitskalen in Betracht zu ziehen“, sagte Saye. „Stattdessen entwickelten wir einen skalenseparierten Ansatz, der die wichtigen physikalischen Vorgänge in jeder der einzelnen Skalen identifiziert, welche anschließend in beständiger Weise miteinander verbunden werden.“

Saye und Sethian entdeckten eine Möglichkeit, um verschiedene Aspekte des Schaums mit unterschiedlichen Gleichungen zu behandeln, die für Ansammlungen mit hunderten Blasen funktionierten. Ein Satz Gleichungen beschrieb die das Hinunterfließen der Flüssigkeit von den Blasenwänden aufgrund der Gravitation, wodurch sie dünner wurden, bis sie zerplatzten. Ein anderer Satz Gleichungen beschäftigte sich mit der Flussbewegung der Flüssigkeit innerhalb der Kreuzungen zwischen den Blasenmembranen. Ein dritter Satz Gleichungen bewältigte die wackelnde Neuausrichtung der Blasen, nachdem eine zerplatzte.

Mit einem vierten Satz Gleichungen lösten die Mathematiker die physikalischen Vorgänge eines Sonnenuntergangs, der in den Blasen reflektiert wird. Dabei bezogen die Wechselwirkungen von dünnen Filmen innerhalb der Blasenmembranen mit ein. Die Vorgänge können Regenbogenfarbtöne erschaffen, ähnlich einem Ölfleck auf nassem Asphalt. Die Lösung der gesamten Bewegungsgleichungen dauerte mit den Supercomputern des National Energy Research Scientific Computing Center (NERSC) fünf Tage. Die Mathematiker planen als nächstes, sich Herstellungsprozesse für neue Materialien in kleinen Größenordnungen anzuschauen.

„Schäume waren ein guter Test dafür, ob all die Gleichungen miteinander funktionierten“, sagte Sethian. „Während verschiedene Probleme unterschiedliche physikalische und chemische Modelle erfordern, hat diese Art Ansatz Anwendungsmöglichkeiten in einem weiten Bereich von Problemen.“

Die Arbeit wird vom Department of Energy, der National Science Foundation und dem National Cancer Institute unterstützt.

Quelle: http://newscenter.berkeley.edu/2013/05/09/heady-mathematics-describing-popping-bubbles-in-a-foam/

(THK)